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已知⊙O的半徑為r，AB、CD為⊙O的兩條直徑，且弧AC=60°，P為弧BC上的任意一點，PA、PD分別交CD、AB于E、F，則AE•AP+DF•DP等于

A.3r²

B.

C.4r²

D.

試題答案

A

試題解析

由AB，CD是直徑，弧AC為60°，可以證明△ACE和△DOF全等，得到對應邊相等．由兩組三角形相似，對應線段成比例，得到線段乘積的形式，然后結合圖形進行計算．

解答：如圖：

∵=60°，CD為直徑，

∴=120°，∴∠C=60°=∠P．

在△ACE和△D0F中，

AC=OC=DO

∠C=∠DOF=60°

∠CAE=∠ODF

∴△ACE≌△DOF

∴CE=OF．

又∵△AOE∽△APF，△DOF∽△DPE

∴AE•AP=AO•AF，DF•DP=DO•DE．

∴AE•AP+DF•DP

=AO•AF+DO•DE

=r（r+OF）+r（r+OE）

=r（2r+OE+OF）

=r（2r+OE+CE）

=r（2r+r）

=3r²．

故選A．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據直徑和弧的度數，得到兩三角形全等，對應邊相等．由三角形相似，對應線段成比例，得到線段乘積的形式，結合圖形計算求值．